昨日3才の娘が、上前歯の治療で部分麻酔の注射をしました。数十分後、鼻の下が赤くなり、2〜3時間後１�p四方くらいの部分において、やけど跡のように皮がむけてきました。鼻の中から細く膿が流れたように見えます。それまでは鼻水も何の異常もなく突然でしたので、麻酔液が歯茎から鼻に通じて流れ、鼻元がかぶれたとは考えられないでしょうか？今日もとびひのようにジクジクして黒ずんでいます。よろしくお願い致します。

あるいは、最初に表面麻酔を塗布する際、上唇を持ち上げる指に麻酔薬が付着していて、それが鼻の下についてかぶれたという事は考えられないでしょうか。

麻酔液で鼻元がかぶれるということは通常考えられませんが、今回の症状は麻酔による何らかの反応であると思われます。
ただし一過性（一時的）な可能性が考えられますので、担当医の指示のもと１週間ほど様子を見られてはいかがでしょうか？
原因等については担当医に御質問下さい。