今月、ずいぶん昔に治療した右下の奥歯の詰め物の中に虫歯ができ、治療しました。このことにより、左側で噛むことが多かったせいか、３年ぐらい前に治療した左上の一番奥の歯が痛むようになりました。

この左上の奥歯も、今回治療した右下の歯のように詰め物の下に虫歯ができていたので３年前に治療したのですが、その際、神経に近かったために詰め物をしても少し、しみたり、痛みを感じていました。
ところが今回の右の歯の治療により左側に負担がかかったのか、何もしなくても少しうずいて気になるくらいになってきました。

詰め物をはがして神経を抜いてもらったほうがいいのでしょうか？

今までに神経を抜いたことがないので、とても心配です。

噛みしめも強いので就寝中はナイトガードをつけています。神経を抜くと歯がもろくなると聞いたので、その点も心配です。

また、それぞれの歯は違う歯科で治療してもらったのですが、（相互関係のある歯科医院です）３年前にその歯を治療した歯科で治療したほうが良いのでしょうか？

お痛みがあるのでしたら、神経を取られた方がよいと思います。
神経を取ると歯自身はもろくなりますが、被せるなどをして補強します。
歯科医院はどちらでも問題はありません。