11歳の子供ですが、3ヶ月に1度定期健診とフッ素を続けています。
先回のフッ素後に下奥歯手前の永久歯が痛むと言うので歯科に行ったら、神経が表面まで出てきていて痛むとのこと。
とりあえず、歯の表面にコーティングして1ヵ月後の検診を待つ予定でしたが、2週間ほどして痛むと言うので再度歯科へ連れて行きました。
そこで、神経を抜いて薬を入れるという方法を施されました。

その後、急に舌の下、あごの上が痛み出し、食事もまともに取れなくなり、ついに熱が出たので歯科につれていったら、膿を持っているとのことで、歯茎を切って膿を出しました。

先生は歯の進行が早いので歯を抜くことになるかもしれないとおっしゃったのですが、健康な歯です。神経を取っただけで歯を抜かないとダメなのでしょうか？

永久歯でなく、乳歯ではないのですか。そのことは大事ですから担当の先生に尋ねられた方がよいと思います。
乳歯なら、下にある永久歯に影響があるので、抜く選択もあります。永久歯なら、出来るだけ残すようにされた方がよいと思います。