抜歯後一旦は痛みが収まったのですが、3日目くらいから痛みが増し、抜いた歯の両側まで痛むようになりました。抜歯した歯科で抗生物質の軟膏？を入れて歯茎に蓋をしてもらうと違和感程度の痛みに軽減しました。しかし、蓋は３日ほどで取れてしまい、取れるとまた両側の歯まで激痛が起こります。（大きく深い穴なのでご飯粒などがそのまま詰まって、うがいだけでは取れません。）治癒して痛みが無くなくなるまではどのくらい掛かるのでしょうか？
また、今ある大きな穴は再度出血させなくても今の治療を続けていてちゃんとふさがるのでしょうか？両隣の歯の根っこがかなりむき出しになっている感もあり心配です。

ご指摘のドライソケットだ思われます。歯を抜いて、その穴に血餅がみたされず、骨の露出部分に、細菌感染を起こしたのでしょう。
その穴に、おそらく抗生物質の軟膏を塗っているのだと思われますが、確かに有効な処置であることに間違いありませんから、今は、かかりつけの先生の指示に従ってください。ただ、処置後、４、５日たっても、腫れ、痛みが増悪する場合，特に喉の周囲まで腫脹が及ぶ場合は、口腔外科を標榜している医院に、セカンドオピニオンを求めてください。

幸い、蓋が付いているときは、食事の際に蓋に衝撃が加わらない限りは痛みはほとんどありません。しかし、この蓋（かなり難い）が歯肉がふさがろうとすることを妨げる、ということは無いのでしょうか？

もう安心してください。快方に向かっていると考えてよいでしょう。
抜歯した穴を守る事は、今、最も優先されるべき処置なので、担当の先生の指示に従ってください。
歯を抜いた後は、多少なり陥没するものですから全く気にしなくて結構です。