上奥歯の歯茎が痛くなったため、先日歯医者に行ったのですが、
奥歯の根元が割れているため抜歯する必要があると診断され、次回抜歯することになりました。
今は痛みがおさまり、噛んでも痛みが全く出ないので、歯を抜くことに抵抗を感じます。
歯の根元が割れている場合、抜歯するしか方法はないものなのでしょうか。

歯の根元が割れている場合は、程度にもよりますが、通常は抜歯適応となります。
担当医が抜歯が必要と診断しているのであれば、それが最善の治療ではないかと思います。
今現在お痛みがおさまっていたとしても、そのまま放置しておくと、歯を支えている顎骨の破壊など、後の治療に悪影響を及ぼす可能性も十分ありますので注意が必要です。