左上の奥歯はだいぶ前に詰め物をしていました。
最近になって違和感を感じたため歯医者に行ったところ詰め物が浮いて下が虫歯になっているとのことで治療をしました。

通院前はほとんど痛みは無かったのですが治療を初めてから、熱いもの・冷たいものが沁みるようになり、安静にしていてもズキズキと痛みだしました。
先生に伝えたところ、「虫歯は深いが神経を抜くほどではない。知覚過敏かもしれない」と言われました。
私もできれば神経を抜きたくないので様子をみることにしました。
今は治療をして１カ月以上たちますが、熱いもの・冷たいものは沁みますし、安静時で痛みが続くときはロキソニンを飲まないと我慢できません。

やはり神経を抜かなくてはだめでしょうか？
当初通っていた歯医者は場所が不便なため、近所の別の歯科にかかりたいと思っているのですが、元の歯医者で治療を続けた方が良いでしょうか？

大変お困りの様ですね。
　虫歯が歯の神経に近接している場合、ご相談のような症状が出ることはしばしばあります。処置直後の痛みに比べて痛みが軽くなっているようであれば、時間はかかるかもしれませんが、やがて終息に向かうと思います。逆に現在の痛みの方が強くなっているのであれば、神経を取ることをお勧めします。安静時にも痛みがあるとのことですので、神経を取った方が良いかもしれません。もし後者の方であれば、近所の別の歯医者でも特に問題はないと思います。